Нестандартный подход к математическому образованию дошкольников

В современной практике дошкольного образования четко прослеживается сдвиг со «знаниевой» составляющей в обучении элементарной математике детей в сторону развиваю-щей. Сегодня, как мы полагаем, математика должна стать для ребенка не просто системой знаний, а мощным инструментом познания окружающего мира, стимулирующим самостоятельную разработку ребенком средств логического отражения объектов и постижения отношений между ними, что в конечном итоге в совокупности обеспечивает интеллектуально-познавательное развитие личности.

Развивающая направленность обучения в математике является ведущей тенденцией со-временного процесса обучения дошкольников. Поэтому математика должна стать для ребенка не просто системой знаний, а полноценным и необходимым методом исследований, которые связаны с задачами ежедневной практической жизни, стать мощным инструментом познания окружающего мира и развития личности [4].

В связи с этим возникает и другой вопрос: «Каким должно быть содержание математического развития дошкольников (не путать с содержанием обучения), являющегося важным результатом математического образования, с одной стороны, и познавательной базой, инструментом познания для дальнейшего изучения математики в школе и использования полученного опыта, сформированного интеллектуального ресурса в дальнейшей жизни и профессиональной деятельности, - с другой?».

Попробуем разобраться с поставленным вопросом, отталкиваясь от понимания сущности предмета математики. Известно определение матема́тики (от др.- греч. μάθημα — изучение, наука) как науки о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов [8]. В таком определении - «математика-наука о структурах» - отсутствует диалектика математического знания. Кроме того, в математике под структурой понимается некоторое специализированное множество, а не система отношений. Понятие структуры определяется формально (Бирхгоф «Теория структур»).

Н. Бурбаки представляет математику как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно [5]. Отношение при этом выступает как математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Таким образом, можно сделать вывод, что одним из важных аспектов, который должен быть положен в основу содержания математического образования, выступает аспект изучения и осмысления отношений между объектами окружающего мира, которые могут быть представлены, в том числе, и на формальном языке, а поэтому могут рассматриваться как математические отношения, выражающие результат познание содержание объекта [3].

Процесс движения, перехода ребенка с одной видовой формы отношений на другую при качественном изменении его инструмента познания - математического мышления (с одного типа на другой) мы определяем как процесс математического развития.

Математическое развитие дошкольников, как мы полагаем, процессуально и содержательно определяется:
• во-первых, степенью углубления ребенка в понимание сущности объектов и отношений между ними, посредством специфических мыслительных процессов,
• во-вторых, характером, уровнем познания и способами освоения детьми отношений, связей между объектами,
Данные компоненты и характеризуют не только содержание математического развития дошкольников, но и выступают, как мы полагаем, показателями его результативности.

Процесс реализации содержания математического развития детей предполагает организацию проникновения в сущность отношений между объектами окружающего мира, активного освоения их дошкольникам на различных познавательных уровнях с использованием созданных, «открытых» детьми инструментов познания, логического отражения мира.

Рассмотрим основные структурные составляющие данного процесса.
Раскрывая первый компонент, индикатор математического развития - степень углубления ребенка в понимание сущности объектов и отношений между ними – на память приходит высказывание В.И.Ленина, который был, как известно, не только революционером, но и философом, о том, что мир - это движущаяся материя, которую мы познаем все глубже и глубже. В чем же состоит глубина такого погружения дошкольника в суть отношений? Глубина проникновения ребенка в сущность объектов и отношений между ними определяется, как мы думаем, характером, сложностью тех отношений, которые будут «открыты» дошкольником в процессе познавательной деятельности, как были открыты в филогенезе становления математического знания. При этом характер содержания отношений будет задаваться взрослым, а суть самого отношения выявляется ребенком.

Анализ и сопоставление существующих видов математических отношений, особенностей познавательной деятельности ребенка на различных возрастных этапах дошкольного детства позволил выделить 6 основных усложняющихся видов математических отношений, позволяющих проникнуть, углубиться в качественное состояние содержания объектов и связей между ними [3].

Перечислим их:
1) отношение однородности (одинаковое-разное);
2) отношение связности (связанное-бессвязное);
3) отношение сложности (постоянное-переменное);
4) отношение структурности (организованное-бесформенное);
5) отношение конструктивности (конструируемое-неконструируемое);
6) отношение системности (логичное-алогичное).

Далее на доступном примере «коробки с цветными карандашами», в которой карандаши выстроились радугой, продемонстрируем проявление степени углубления, погружения ребенка в понимание сущности объектов и отношений между ними, т.е. продемонстрируем динамику как количественных, так и качественных изменений в их познании детьми (что, собственно и характеризует процесс познавательного развития).

Применительно к каждому виду отношений определим те специфические мыслительные процессы, типы мышления, которые лежат в основе их «открытия» ребенком. Формулировка данных типов мышления не является общепринятым, а выступает как авторская. Наименование ниже приведенных типов мышления осуществляется в логике развития математического знания: от появления примитивного пересчета однородных множеств человеком на заре цивилизаций до современных математических методов системного анализа, рассматриваемых в теории категорий.

Итак, перейдем к характеристике математических отношений и психологических механизмов их освоения детьми.
Отношение однородности (одинаковое-разное) – первый уровень глубины понимания сущности объектов и отношений между ними. Поверхностный взгляд ребенка на коробку с цветными карандашами позволяет ему определять, что это цветные карандаши, т.е. несмотря на различие в цвете увидеть их единство – цветность, другими словами одинаковое в разном. Самой простой формой одинаковости является тождественность двух объектов, самой сложной формой одинаковости является нахождение общего в двух совершенно разных объектах.

Специфическим мыслительным процессом, который лежит в основе способности видеть одинаковое в разном, является метрическое мышление [1]. Наименование мышления происходит от слова «метр - меряю». Первые измерения человек начал производить, пересчитывая однородные предметы. Посредством метрического мышления ребенок видит одинаковое, может выражать различные виды однородности, в том числе однородность количеств, которое дает представление о натуральном числе.

Метрическое мышление работает в ситуации, когда ребёнок сравнивает два объекта (предметы-игрушки, картинки и пр.) и находит сходство и различие между ними, начиная от тождественных объектов и заканчивая абсолютно разными. Создавая ситуацию «движения» от одинакового к разному и обратно взрослый может усложнять процесс распознавания и создавать напряжение для интеллекта ребенка. Такое напряжение заставляет интеллект качественно меняться и развивать метрическое мышление.

Отношение связности (связанное-бессвязное) – второй уровень глубины понимания сущности объектов и отношений между ними [3]. При более пристальном рассмотрении ребенок может обнаружить две группы карандашей с двумя видами цвета: «тёплый» цвет (от красного до жёлтого) и «холодный» цвет (от зелёного до фиолетового). Внутри каждой группы своя одинаковость, а между группами уже есть связь: связь между количествами двух групп карандашей (тонов). В процессе констатации такого вида отношения мы получаем пары из предметов, которые и выражают установленную связь. Множество таких пар, как известно, называется соответствием.

Специфическим мыслительным процессом, который лежат в основе способности видеть связанное в несвязном является топологическое мышление и оно получает стимул к развитию после метрического потому, что удалось увидеть неожиданно то, что не видели раньше [1]. Такое название мышление происходит от слова «топология» - логика положения, впервые разработанная Р.Декартом, который предложил связывать положение точки в пространстве с тройкой чисел - пространственных координат. Позже эту идею связности на множественном уровне обобщил советский математик П.Урысон и разработал аксиоматику связности.

Благодаря развитому топологическому мышлению ребенок может находить различные связи в жизни и отражать их. Важнейшей формой связи является количественное отношение. Оно устанавливает координацию между двумя конечными множествами. Развитие топологического мышления происходит за счет его качественного изменения при усложнении процесса распознавания ребенком отношений. Самой простой формой связности является связь между двумя частями одного объекта, а самой сложной формой связности является нахождение связного в двух несвязных объектах.

Развитие топологического мышления происходит за счет его качественного изменения при усложнении процесса распознавания ребенком отношений. Так, например, самой простой формой связности является связь между двумя частями одного объекта, а самой сложной формой связности является нахождение связного в двух несвязных объектах.

Отношение сложности (постоянное-переменное) – третий уровень глубины пони-мания сущности объектов и отношений между ними [3]. Рассматривая последовательность карандашей, ребенок может вставить карандаши между имеющимися, чтобы обеспечить плавный переход цвета. Вставленные карандаши - этапы перехода, слагаемые перехода. В этом случае обнаруживается скрытое движение от одного цвета к другому, которое порождает соединение элементов последовательности в единое целое – переход из цвета в цвет, который стоит рядом. Такое качество называется сложенностью или сложностью. Следовательно, коробка оказалась сложенной из таких последовательностей. Но ведь ребенок не замечал раньше такую последовательность от цвета к цвету? Разумеется, он еще более пристально («глубже») посмотрел на коробку, когда попытался расчленить, разъединить рядом стоящие карандаши.

Специфическим мыслительным процессом, который лежит в основе способности отражать сложность, представляет аналитическое мышление [1]. Известно, что анализ (др.-греч. ἀνάλυσις — разложение, расчленение) — операция мысленного или реального расчленения целого (вещи, свойства, процесса или отношения между предметами) на составные части, выполняемая в процессе познания или предметно-практической деятельности человека. На основе действия разъединение объекта, выделения его частей ребенок пытается глубже понять отношения между этим элементами, увидеть движение, изменение между от-дельными частями, и, в конечном итоге, осмыслить объект на более глубоком уровне.

Развитием аналитического мышления является его качественное изменение при усложнении процесса распознавания. Самой простой формой изменения является тождественность между двумя частями одного объектами (отсутствие изменения), а самой сложной формой постоянного является нахождение качественного изменения в двух и более разных объектах.
Название мышление связано с математическим анализом, в котором главной операцией является аналитическая операция нахождения предела числовой последовательности. Его функционирование позволяет указывать предел числовой последовательности как фиксацию постоянного значения в переменной величине. Поэтому аналитическое мышление связывается со способностью определять постоянное в переменном. Результатом выполнения аналитической операции всегда бывают новые объекты.

Отношение структурности (организованное-бесформенное) – четвертый уровень глубины понимания сущности объектов и отношений между ними [3]. Ребенку заметить движение, как переход от цвета к цвету, оказалось достаточно трудно, но еще труднее из всех цветов карандашей найти только три самостоятельных цвета, которые показывают весь процесс движения цвета. В цвете такой основой является тройка (красный; желтый; синий). Можно легко показать сложение цвета: красный + желтый = оранжевый, желтый + синий = зеленый, красный + желтый + синий = коричневый. Такая цветовая основа представления цвета подобна тройке (точка; прямая; плоскость) в представлении геометрии на плоскости, подобна тройке (1; 10; 100) в представлении любых натуральных чисел в классе единиц. Можно привести еще много примеров такой основы.

Структура-строение, внутреннее устройство чего-либо, система отношений в чем-либо. Система отношений (красный - желтый) и (желтый - синий) представляет структуру механизма движения цвета. Впервые структурный способ построения математики был создан Эвклидом при написании «Начала». Он назвал представленную им систему отношений между геометрическими объектами-аксиомами, а метод построения математики был назван аксиоматическим.

Ребенок познает мир через его структуризацию, которая приходит на смену разделен-ному предметному знанию. Специфическим мыслительным процессом, который лежат в основе способности отражать структурность содержания (находить базовые элементы и систему отношений между ними) называется структурным мышлением [1]. Мы видим, насколько глубже структурное мышление, чем аналитическое. В структурном мышлении важно найти базис - основные элементы содержания и систему отношений между элементами базиса. Структурное мышление формирует умение структурировать. В частности, таким умением является превращение конечного количества в структуру натурального числа в классе единиц в различных системах счета с помощью тройки («квадрат», «отрезок», «точка»). Благодаря структурному мышлению ребенок может в группе разрозненных объектов найти для них определённый порядок расположения, а также отыскивать базисные элементы в заданном расположении объектов, установить порядок в заданной группе объектов.

Отношение конструктивности (конструируемое - неконструируемое) – пятый уровень глубины понимания сущности объектов и отношений между ними [3]. Теперь нам предстоит решить ребенку трудную задачу: сконструировать цвет за некоторое конечное количество шагов. С одной стороны ребенок всегда можем найти различные цвета и наложить их друг на друга.

Специфическим мыслительным процессом, который лежат в основе способности отражать конструктивность, называется алгоритмическим мышлением [1]. Название мышления происходит от понятия алгоритма, как точного набора инструкций, впервые примененным Эвклидом к процедуре нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. В современном понимании данное понятие используется как набор инструкций для построения какой-либо конструкции. В математике существует алгоритмическая разрешимость (возможность построения) и алгоритмическая неразрешимость (невозможность построения).

Мы используем такой тип мышления для решения определенных задач или объяснения невозможности такого решения. Алгоритмическое мышление призвано научить делать наилучший выбор из большого числа вариантов. Развитие такого мышления содействует развитию интуиции-способности угадывать. Алгоритмическое мышление связано с действиями конструирования, которые слабо реализованы в практике, ибо ученики не конструируют задачи, не конструируют познавательные средства (счеты, линейки и так далее).

Мы продолжим наше погружение в глубину.
Отношение системности (логичное-алогичное) – шестой уровень глубины. Обратимся к нашему примеру с карандашами [1]. Для любого цвета, сконструированного из других цветов, всегда найдется место в коробке. Причем, этому цвету будет предшествовать некоторый цвет, и за ним будет следовать некоторый цвет. В такой ситуации ребенок видит коробку, в которой отсутствуют некоторые из карандашей и, исходя из их расположения по цветам радуги, он способен указать на отсутствующие цвета, а также спрогнозировать следующий цвет.

Таким образом, любая вещь всегда является предшественником чего-либо. Умение представлять любой объект, как переход от предыдущего к последующему связан с проблемой прогнозирования. Однако увидеть это можно с помощью систематизации.

Специфическим мыслительным процессом, который лежат в основе способности системность называется системным мышлением [3]. Системное мышление демонстрирует логику развития. Название мышления происходит от понятия системы, как целого, составленного из частей. Мы используем систему для представления развития структуры содержания. Система представляет целостность всех качественных состояний содержания. Системное мышление должно приучить ребенка к нахождению механизма развития, сформировать целостный подход к познанию окружающего мира в отличие от предметного знания, которое составляет фрагментарный подход.

Таким образом, на примере простой коробки с цветными карандашами мы увидели шесть качественных состояний содержания любого объекта и соответствующих математических отношений: однородность-связность-сложность-структурность-конструктивность-системеность. Именно данные виды отношений должны, как мы полагаем, стать основой для проектирования современного содержания математического образования дошкольников, а типы мышления – содержанием математического развития ребенка-дошкольника.

В определении содержания математического развития мы исходили из того, что знания ребенка меняются качественно посредством его перехода с текущего познавательного уровня на следующий. Причем, при таком подходе предыдущий возрастной уровень, всегда будет вспомогательным к последующему. В связи с этим математическое образование оказалась перед сложнейшей технологической задачей: как спроецировать содержание дошкольной математики на ось возрастного развития, чтобы знакомство с ней начиналось с раннего дошкольного возраста, на доступном для понимания познавательном уровне, учитывая, что источником познавательного развития является сам познающий субъект?

Учитывая ограниченность объема данной публикации и понимание того, что технология реализации математического развития является самостоятельной проблемой исследования, отметим главные, ключевые подходы к рассмотрению данного аспекта.

Известно, что математическому образованию характерен символический способ, уровень представления учебной информации (знаки, цифры). Возможно, именно за абстрактность содержания математика обычно считается самым трудным предметом школьного обучения [7]. Безусловно, символический, абстрактный уровень представления содержания математического образования в полной мере недоступен в дошкольном детстве (от 2 до 6-7 лет). Известно, что интеллект детей этого возраста находится, как правило, на сенсомоторной и образной стадии развития. Это означает, что действия с абстрактными объектами для дошкольников весьма затруднительны и потому символическая информация не должна доминировать в содержании математического образования, знаки и символы не должны являться преобладающими в объяснении математического материала в дошкольном детстве.

Мы полагаем, что в математическом развитии дошкольников будут доминировать сенсорно-предметный и сенсорно-образный познавательные уровни, характеризующие досимво-лический этап представления и восприятия познавательной информации [6]. Так, сенсорно-предметный уровень познания (до 3 лет) предполагает освоение ребенком математических отношений преимущественно при помощи органов чувств в процессе манипулирования с одиночными пространственными материальными формами, не являющимися геометрически-ми фигурами, телами, например, игрушками, что приводит к пониманию множества как группы однородных объектов.

Сенсорно-предобразный уровень (3-5 лет) является переходным этапом к образному уровню, в рамках которого ребенок манипулирует не с предметами, а опосредованными их образами (рисунками, схемами). Освоение математических отношений на данном уровне осуществляется поэтапно. Вначале инструментом познания выступают разнообразные предметные множества (3 года), при помощи которых у детей складывается представление о множестве. Затем на второй ступени (4 года) дошкольники осваивают количественные отношения и моделируют величину количества, представленную образным натуральным числом, но еще не выраженным в цифровой форме, непосредственно действуя с деталями различных конструкторов (строительных, дидактических, ЛЕГО и пр.). На третьей ступени (5 лет) ребенок осваивает количественные математические отношения, манипулируя материальными пространственными геометрическими формами, при этом знакомится с элементарными понятиями геометрии и алгебры.

Мы полагаем, что к 6 году жизни ребенок готов к переходу на сенсорно-образный уровень познания математических отношений (если он успешно «прошел» все остальные), способен сознательно манипулировать опосредованными образами геометрических фигур и частично самостоятельно создавать такие образы, выражать количественные отношения в виде графической модели и распознавать плоскостное изображение геометрических фигур. Такое движение ребенка по познавательным уровням, как мы полагаем, подготавливает его к пере-ходу освоения математики на образно-символическом, абстрактном уровне познания к 7 го-дам [6, 7].

Необходимо отметить, что соотнесение возрастам ребенка и уровня познания представлено нами отчасти условно-приблизительно, поскольку каждый ребенок в онтогенезе может продвигаться по ступеням математического роста в своем темпе: или ускоренно, или замедленно. Одно, как мы думаем, должно оставаться неизменным: последовательное их прохождение. Практика доказывает, что каждый вид отмеченного выше математического отношения и соответствующий ему тип мышления сначала должен формироваться на сенсорно-предметном, далее на сенсорно-образном, а затем на образном и символическом уровне [6].

Причем, на всех ступенях математического развития в ситуации затруднения в процессе решения проблемных ситуаций, связанных с освоением математических отношений (возникших непреднамеренно или созданных взрослым) ребенок имеет возможность подключать предметные действия, органы чувств, «мускульный» интеллект (мышление руками). Иллюстрация методики формирования математических отношений и развития математического мышления приводится в следующей статье на примере конструирования из геометрических фигур.

Таким образом, подытоживая сказанное, можно сделать следующие выводы.
1. Содержание современного математического образования должно предполагать помощь взрослого детям в проникновение, углубление в сущность отношений между объектами окружающего мира (однородности; связности; сложности; структурности; конструктивности; отношение системности) и формирование у дошкольников начал (основ) соответствующих математических категорий: однородности (тождества), движения (изменения), порядка, целостности.
2. Математическое развитие дошкольника представляет собой процесс качественного перехода с одного типа математического мышления на другой, следуя последовательности: метрическое, топологическое, аналитическое, структурное, алгоритмическое, системное мышление, которые обеспечивают освоение соответствующих им математических отношений.
3. Организация математического образования и развития на различных этапах дошкольного детства обусловлена «продвижением» ребенка по познавательным уровням освоения математики: от сенсорно-предметного к образному. Плавное продвижение ребенка по лестнице математического развития, обеспечивает самостоятельное открытие детьми смысла математических отношений при помощи предметного действия и наглядного образа.

Полагаем, что данные авторские позиции могут выступить в качестве концептуальных основ проектирования развивающего и развивающегося непрерывного математического образования, в котором дошкольный этап выступает в качестве базового. Представленные в статье взгляды дополняют существующие идеи развивающей концепции дошкольного математического образования.

Список литературы
1. Арест М.Я., Тупичкина Е.А. Качественные состояния содержания объекта; логическо-гое отражение качественных состояний; видовые формы логического мышления, как состояния интеллекта в логическом отражении. Электронный ресурс: math-edu.ucoz. ru
2. Арест М.Я., Тупичкина Е.А. Представление дошкольного математического образова-ния в рамках непрерывного математического образования. Электронный ресурс: math-edu.ucoz. ru
3. Арест М.Я., Тупичкина Е.А. Математическое отношение – содержательная основа математического образования. Электронный ресурс: math-edu.ucoz. ru
4. Арест М.Я., Тупичкина Е.А. Центральная задача математического образования на со-временном этапе. Электронный ресурс: math-edu.ucoz. ru
5. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963.
6. Тупичкина Е.А. Дошкольный возраст: учет репрезентативных систем [Текст] / Е. Тупичкина // Дошкольное воспитание. - 2010. - №7. - С. 20-24 .
7. Тупичкина Е.А. Проблемы современного педагогического процесса с информационной точки зрения. /Е.А. Тупичкина //Педагогическая информатика. – 2003. – № 3. С.64-74.
8. Энциклопедия Britannica. Электронный ресурс: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics

Сведения об авторах:
Тупичкина Елена Александровна, профессор, доктор педагогических наук, зав. кафедрой образовательной практики Армавирской государственной педагогической академии, г. Армавир
Арест Михаил Яковлевич (Михаэль Арест), магистр математики, кандидат психологических наук, безработный с 1997 года, Хайфа, Израиль